“Propagación de caos para sistemas de partículas de interacción de salto puro” es la tesis con la que el ex alumno de doctorado del DIM Roberto Amaru Cortez Milán resultó ganador del premio Francisco Aranda Ordaz, otorgado por la Sociedad Latinoamericana de Probabilidades y Estadística Matemática (SLAPEM).
El galardón es entregado cada dos o tres años a la mejor tesis de Latinoamérica tanto en el área de Probabilidades como de Estadística, y se concede en honor al joven y destacado matemático mexicano del mismo nombre fallecido trágicamente en 1991.
La tesis de Cortez –quien tuvo como profesor guía al académico del DIM Joaquín Fontbona- consiguió el primer lugar del concurso en el área de Probabilidades. Como parte del premio, el ahora postdoctorante deberá exponer los resultados de su trabajo en el Congreso Latinoamericano de Probabilidades y Estadísticas Matemáticas (CLAPEM) a realizarse en San José, Costa Rica, en el mes de diciembre.
La investigación de Cortez toma como objeto de estudio la Ecuación de Boltzmann, deducida en 1872 para modelar el comportamiento de los gases. Su trabajo es un aporte a la comprensión y deducción matemática de esta ecuación ampliamente utilizada en la Mecánica Estadística.
¿De qué manera las probabilidades pueden explicar matemáticamente la Ecuación de Boltzmann?
Según esta ecuación, si se tiene un gas en una cierta porción del espacio, sus moléculas se mueven siguiendo las leyes de la mecánica clásica. O sea, si no hay gravedad, estas partículas van en línea recta hasta que se encuentran con otra partícula colisionando o repeliéndose por algún tipo de fuerza electromagnética. Los físicos deducen estas ecuaciones de forma muy intuitiva, muy heurística. Para justificarla matemáticamente uno puede buscar varios caminos y una forma de hacerlo es con las probabilidades. Aquí, lo que uno tiene que hacer es simplificar, porque modelar todas las condiciones de las partículas de manera exacta siguiendo las leyes de Newton es muy complicado cuando la cantidad de partículas es muy grande. No se pueden hacer cálculos. Entonces, uno propone que estas colisiones sean aleatorias, y al ser aleatorias uno ocupa la teoría de probabilidades para analizar este problema.
¿Cuáles son los avances que aporta tu tesis dentro de este campo?
Mi tesis tiene que ver con lo que se llama propagación de caos. La idea es tomar un sistema con una cantidad finita de partículas, y demostrar que éste se comporta como la ecuación predice cuando la cantidad de partículas es muy grande. En particular, lo que demostramos en la tesis es lo que se llama propagación de caos uniforme en el tiempo, que es cuando logras demostrar este comportamiento sin depender del tiempo. Eso significa, por ejemplo, que el estado del sistema de partículas cuando el tiempo es muy grande queda bien descrito por el estado de equilibrio de la ecuación. Eso fue lo más importante y lo hicimos para un caso en particular de la ecuación, llamado el caso de las moléculas de Maxwell. No es la primera vez que se demuestra, pero es la primera vez que se hace con herramientas probabilistas y con una tasa de convergencia razonable.
¿Cómo llegaste a enfocarte en esta investigación?
Llegué a esta tesis de un modo extraño. Yo empecé a buscar temas que tuvieran que ver con Economía, que era mi área de interés. Pero hay una rama de la Economía que me llamó la atención y que muchos llaman Econofísica, a la que llegué por un par de referencias que me dio Joaquín Fontbona. En esos artículos se ocupaban modelos de la Mecánica Estadística en el contexto económico, haciendo una especie de analogía: en la Física tienes partículas que colisionan y en la Economía tienes agentes económicos, como las personas; las cuales interactúan. Las partículas las cambias por agentes económicos y las colisiones por intercambios económicos. Puedes plantear ecuaciones similares a la de Boltzmann pero en este contexto, algo que se ha estado haciendo en los últimos 20 años. Entré a este tema de las partículas y de la Mecánica Estadística por mi interés en la parte económica, pero ya estando dentro me di cuenta de que la Econofísica no era tan popular en términos de lo que los matemáticos hacen como lo es la aplicación Física. Sin embargo, el primer artículo que subimos con Joaquín tenía ambas componentes.
¿Cómo describirías la ayuda de tu profesor guía, Joaquín Fontbona, en la investigación?
La ayuda de Joaquín fue esencial. Siempre me llevó hacia las buenas referencias. Yo no conocía este tema muy bien y sin él habría estado perdido en un mundo de publicaciones sin saber con qué guiarme. Pero su influencia viene desde mucho más atrás. De hecho, yo antes trabajaba en el CMM bajo su dirección y fue él quien me mencionó la existencia de una beca para el doctorado. También hizo los contactos para que hiciera una pasantía en Francia y me dio a conocer la existencia de este concurso. En todo lo referido a lo extra académico, a la creación de redes y contactos, su ayuda ha sido fundamental para mí.
¿Cuáles han sido tus principales motivaciones para realizar este trabajo?
Uno como matemático tiene que tratar de hacer lo que le gusta y estar atento a las cosas que se van dando. Se dice que en matemáticas hay ciertas modas, pero en realidad son tendencias que los investigadores van siguiendo. Así que por mucho que te guste trabajar un tema, también hay que adecuarlo a lo que la gente está haciendo. Uno no puede vivir aislado en lo que le gusta si al resto no le interesa. Hay que congeniar las dos cosas.